基本的に違いはありません。
保育料は市民税の所得割額により決定されますので、基本的に同じです。
ただし、民間の場合は延長保育料金が園によって異なるなど、保育料以外の部分の(かばん代、帽子代等)費用が発生する場合があります。
保育内容については基本的には変わりませんが、民間は独自のカリキュラムをもっており、公立より若干個性があるといえます。